Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

Schritt 1

Addiere $2 t y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = 2 t$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 t d t}$

Schritt 2.2

Integriere $2 t$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int t d t}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ um.

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{1 t^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $1$ .

$e^{t^{2} + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{t^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{t^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

Schritt 3.4

Multipliziere $e^{t^{2}}$ mit $e^{- t^{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $e^{- t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

Schritt 3.4.3

Addiere $- t^{2}$ und $t^{2}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

Schritt 3.5

Vereinfache $4 e^{0}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren in $e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ um.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ durch $e^{t^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ durch $e^{t^{2}}$ .

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t^{2}}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $t$ und $3$ für $y$ in $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ ersetzt wird.

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ um.

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Schritt 10.2

Vereinfache $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ .

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Schritt 10.2.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Schritt 10.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Schritt 10.2.1.2.2

Addiere $0$ und $C$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

Schritt 10.2.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{C}{1} = 3$

Schritt 10.2.3

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = 3$

Schritt 11

Setze $3$ für $C$ in $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $3$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$