Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 4 x - 7$ und $y (3) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (4 x - 7) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 4 x - 7 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 4 x - 7 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int - 7 d x$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int - 7 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 7 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 7 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 2 x^{2} - 7 x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $3$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = 2 x^{2} - 7 x + K$ ersetzt wird.

$0 = 2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K = 0$ um.

$2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 \cdot 9 - 7 \cdot 3 + K = 0$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 - 7 \cdot 3 + K = 0$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$18 - 21 + K = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $21$ von $18$ .

$- 3 + K = 0$

Schritt 4.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 3$

Schritt 5

Setze $3$ für $K$ in $y = 2 x^{2} - 7 x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $3$ .

$y = 2 x^{2} - 7 x + 3$