Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ , $y (4) = 3$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{y})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{y}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Schritt 1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = - x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = - x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int - x d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$

Schritt 5

Da $y$ positiv in der Anfangsbedingung $(4, 3)$ ist, betrachte nur $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ um $K$ zu finden. Ersetze $4$ für $x$ und $3$ für $y$ .

$3 = \sqrt{- 4^{2} + K}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$ um.

$\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$

Schritt 6.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- 4^{2} + K}}^{2} = 3^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- 4^{2} + K}$ als ${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache ${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 4^{2} + K)}^{1} = 3^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

${(- 1 \cdot 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

${(- 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

Schritt 6.3.2.1.3

Vereinfache.

$- 16 + K = 3^{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- 16 + K = 9$

Schritt 6.4

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 9 + 16$

Schritt 6.4.2

Addiere $9$ und $16$ .

$K = 25$

Schritt 7

Setze $25$ für $K$ in $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $25$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 25}$

Schritt 7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y = \sqrt{- x^{2} + 5^{2}}$

Schritt 7.3

Stelle $- x^{2}$ und $5^{2}$ um.

$y = \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

Schritt 7.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$