Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $28$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $28$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Schritt 2.3.2

Multipliziere ${(7 t^{2} - 5)}^{3}$ aus.

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Schritt 2.3.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2})}^{3} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} {(7 t^{2})}^{2} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Schritt 2.3.2.4

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Schritt 2.3.2.5

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) + {(- 5)}^{3} d t$

Schritt 2.3.2.6

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 {(- 5)}^{2} d t$

Schritt 2.3.2.7

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Schritt 2.3.2.8

Bewege $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Schritt 2.3.2.9

Versetze die Klammern.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Schritt 2.3.2.10

Versetze die Klammern.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Schritt 2.3.2.11

Bewege $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Schritt 2.3.2.12

Bewege $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Schritt 2.3.2.13

Versetze die Klammern.

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Schritt 2.3.2.14

Versetze die Klammern.

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Schritt 2.3.2.15

Bewege $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} \cdot - 5 t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Schritt 2.3.2.16

Bewege $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Schritt 2.3.2.17

Bewege $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Schritt 2.3.2.18

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 49 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.19

Mutltipliziere $49$ mit $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2 + 2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.21

Addiere $2$ und $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.23

Addiere $4$ und $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.24

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 21 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.25

Mutltipliziere $21$ mit $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 147 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.26

Mutltipliziere $147$ mit $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.27

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.28

Addiere $2$ und $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.29

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 21 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.30

Mutltipliziere $21$ mit $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} - 105 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.31

Mutltipliziere $- 105$ mit $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.32

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} + 25 \cdot - 5 d t$

Schritt 2.3.2.33

Mutltipliziere $25$ mit $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 125 d t$

Schritt 2.3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$s + C_{1} = 28 (\int 343 t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Schritt 2.3.4

Da $343$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $343$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 28 (343 \int t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{6}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{7} t^{7}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Schritt 2.3.6

Da $- 735$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 735$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 \int t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{4}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Schritt 2.3.8

Da $525$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $525$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 \int t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Schritt 2.3.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) + \int - 125 d t)$

Schritt 2.3.10

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Schritt 2.3.11

Vereinfache.

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Schritt 2.3.11.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.11.1.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $t^{7}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Schritt 2.3.11.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $t^{5}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Schritt 2.3.11.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{t^{3}}{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Schritt 2.3.11.2

Vereinfache.

$s + C_{1} = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $t$ und $5$ für $s$ in $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ ersetzt wird.

$5 = 28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$ um.

$28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$28 (49 \cdot 1 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $49$ mit $1$ .

$28 (49 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Schritt 4.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$28 (49 - 147 \cdot 1 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 147$ mit $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Schritt 4.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1 - 125 \cdot 1) + K = 5$

Schritt 4.2.1.6

Mutltipliziere $175$ mit $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 - 125 \cdot 1) + K = 5$

Schritt 4.2.1.7

Mutltipliziere $- 125$ mit $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 - 125) + K = 5$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $147$ von $49$ .

$28 (- 98 + 175 - 125) + K = 5$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 98$ und $175$ .

$28 (77 - 125) + K = 5$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $125$ von $77$ .

$28 \cdot - 48 + K = 5$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $28$ mit $- 48$ .

$- 1344 + K = 5$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $1344$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 5 + 1344$

Schritt 4.3.2

Addiere $5$ und $1344$ .

$K = 1349$

Schritt 5

Setze $1349$ für $K$ in $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $1349$ .

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + 1349$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$s = 28 (49 t^{7}) + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $49$ mit $28$ .

$s = 1372 t^{7} + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 147$ mit $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $175$ mit $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} + 28 (- 125 t) + 1349$

Schritt 5.2.2.4

Mutltipliziere $- 125$ mit $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} - 3500 t + 1349$