Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = k x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = k x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int k x d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int k x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $k$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = k \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = k (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $k (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $k \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = k \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $k$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{k}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kombiniere $\frac{k}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{k x^{2}}{2} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{1}{2} k x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} k + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} x^{2} k + K$