Analysis Beispiele

$x y \frac{d y}{d x} + 3 = 0$ , $f (2) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ durch $x y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ durch $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{x y}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x y}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{x}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3}{x y}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{x y}$

Schritt 1.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Schritt 1.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Schritt 1.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = - \frac{3}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - 3 \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- 3 \ln (| x |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |)) + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y^{2} = - 6 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 3.3

Vereinfache $- 6 \ln (| x |)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{2} = - \ln ({| x |}^{6}) + 2 C$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{6}) + 2 C}$

Schritt 3.5

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{6}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = \pm \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

Schritt 5

Da $y$ positiv in der Anfangsbedingung $(2, 1)$ ist, betrachte nur $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ um $C$ zu finden. Ersetze $2$ für $x$ und $1$ für $y$ .

$1 = \sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$ um.

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$

Schritt 6.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}}^{2} = 1^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$ als ${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{1} = 1^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $6$ .

${(- \ln (64) + C)}^{1} = 1^{2}$

Schritt 6.3.2.1.3

Vereinfache.

$- \ln (64) + C = 1^{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \ln (64) + C = 1$

Schritt 6.4

Addiere $\ln (64)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 1 + \ln (64)$

Schritt 7

Setze $1 + \ln (64)$ für $C$ in $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $1 + \ln (64)$ .

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 1 + \ln (64)}$