Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 4 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 4 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 2.3.1.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 2.3.7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + K$