Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (4.5) (\sec^{2} (x)) (\tan (x))$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $x$ .

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Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int (4.5) (\sec^{2} (x)) (\tan (x)) d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $4.5$ mit $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 4.5 \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.3

Da $4.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4.5$ aus dem Integral.

$\frac{d y}{d x} = 4.5 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.4

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.4.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.4.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{d y}{d x} = 4.5 \int u d u$

Schritt 1.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4.5 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Schreibe $4.5 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ als $4.5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = 4.5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{1}$

Schritt 1.6.2

Kombiniere $4.5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4.5}{2} u^{2} + C_{1}$

Schritt 1.7

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4.5}{2} \sec^{2} (x) + C_{1}$

Schritt 1.8

Dividiere $4.5$ durch $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (2.25 \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \int 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{2} = \int 2.25 \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.2

Da $2.25$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2.25$ aus dem Integral.

$y + C_{2} = 2.25 \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$y + C_{2} = 2.25 (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = 2.25 (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache.

$y + C_{2} = 2.25 \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.6

Stelle die Terme um.

$y + C_{2} = C_{1} x + 2.25 \tan (x) + C_{5}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = C x + 2.25 \tan (x) + D$