Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{5 x + 1}$ , $y (3) = - 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \sqrt{5 x + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 5 x + 1$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 5 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $5$ und $0$ .

$5$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 2.3.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Schreibe $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ als $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $5 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $3$ für $x$ und $- 2$ für $y$ in $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ ersetzt wird.

$- 2 = \frac{2}{15} {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$ um.

$\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(15 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Schritt 4.2.2

Addiere $15$ und $1$ .

$\frac{2}{15} \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Schritt 4.2.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{2}{15} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Schritt 4.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{3} + K = - 2$

Schritt 4.2.6

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot 64 + K = - 2$

Schritt 4.2.7

Multipliziere $\frac{2}{15} \cdot 64$ .

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Schritt 4.2.7.1

Kombiniere $\frac{2}{15}$ und $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{15} + K = - 2$

Schritt 4.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{128}{15} + K = - 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{128}{15}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 2 - \frac{128}{15}$

Schritt 4.3.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$K = - 2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{- 2 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{- 2 \cdot 15 - 128}{15}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $15$ .

$K = \frac{- 30 - 128}{15}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $128$ von $- 30$ .

$K = \frac{- 158}{15}$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$K = - \frac{158}{15}$

Schritt 5

Setze $- \frac{158}{15}$ für $K$ in $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{158}{15}$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{158}{15}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{2}{15}$ und ${(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{158}{15}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158}{15}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - 158}{15}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 158$ heraus.

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79}{15}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79$ heraus.

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 79)}{15}$