Analysis Beispiele

$2 \frac{d y}{d x} - x = 10$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \frac{d y}{d x} = 10 + x$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} = 10 + x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} = 10 + x$ durch $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10}{2} + \frac{x}{2}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10}{2} + \frac{x}{2}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{2} + \frac{x}{2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Dividiere $10$ durch $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 + \frac{x}{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (5 + \frac{x}{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 5 + \frac{x}{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 5 + \frac{x}{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 5 d x + \int \frac{x}{2} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int \frac{x}{2} d x$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \frac{1}{2} \int x d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = 5 x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{1}{4} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{2} + 5 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{4} x^{2} + 5 x + K$