Analysis Beispiele

$(x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Schritt 1.4

Subtrahiere $2 y$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - x y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 y = - y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 y = - y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- y$ .

$\frac{- 2 y - - y}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $- x y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $- x y$ .

$\frac{- 2 y - - y}{- x y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y - - y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{y \cdot - 2 - - y}{- x y}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- - y$ heraus.

$\frac{y \cdot - 2 + y (- - 1)}{- x y}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 2 + y (- - 1)$ heraus.

$\frac{y (- 2 - - 1)}{- x y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y (- 2 + 1)}{- x y}$

Schritt 4.3.2.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{- x}$

Schritt 4.3.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{1}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Schritt 5.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | x | + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x^{2} - y^{2}$ mit $x$ .

$(x^{2} - y^{2}) x d x - x y d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} x - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Schritt 6.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} x^{1} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Schritt 6.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{2 + 1} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- x y$ mit $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x y x d y = 0$

Schritt 6.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1

Bewege $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - (x \cdot x) y d y = 0$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x^{2} y d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x^{2} y d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = - x^{2} y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- x^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - x^{2} \int y d y$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $- x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = - x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.2

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Schritt 8.3.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.3.1

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} x^{2}) + C$

Schritt 8.3.3.2

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2}) x^{2} + C$

Schritt 8.3.3.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.3.3

Da $- \frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2} y^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.3.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.3.7

Kombiniere $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ und $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 11.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2} x$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.3.8.2.4

Dividiere $- y^{2} x$ durch $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = x^{3} - y^{2} x$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Addiere $y^{2} x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$ .

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Schritt 12.1.2.1

Addiere $- y^{2} x$ und $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $x^{3}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} d x$

Schritt 13.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 15.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + C$