Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = 5 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} + 3 y = 5 x^{2}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{5 x^{2}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{5 x^{2}}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{5 x^{2}}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (5 x)}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (5 x)}{x^{1}}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (5 x)}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (5 x)}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{5 x}{1}$

Schritt 1.3.2.5

Dividiere $5 x$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = 5 x$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{3 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = 5 x$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{3}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 5 x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{3}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{3}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{3})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{3}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (5 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{x}$ und $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (5 x)$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (5 x)$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (5 x)$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (5 x)$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (5 x)$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 5 x^{3} x$

Schritt 3.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 5 (x \cdot x^{3})$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 5 (x^{1} x^{3})$

Schritt 3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 5 x^{1 + 3}$

Schritt 3.4.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 5 x^{4}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = 5 x^{4}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int 5 x^{4} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{3} y = \int 5 x^{4} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$x^{3} y = 5 \int x^{4} d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ als $5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ um.

$x^{3} y = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$x^{3} y = \frac{5}{5} x^{5} + C$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} y = \frac{5}{5} x^{5} + C$

Schritt 7.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} y = 1 x^{5} + C$

Schritt 7.3.2.3

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$x^{3} y = x^{5} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y = x^{5} + C$ durch $x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y = x^{5} + C$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$y = \frac{x^{3} x^{2}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.2.4

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{3}}$