Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - y (6 x - 1) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} - y (6 x) - y \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x - y \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.1.1.3

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + 1 y = 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + y = 0$

Schritt 1.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{d y}{d x} - 6 y x + y = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Addiere $6 y x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + y = 6 y x$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = 6 y x - y$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $6 y x - y$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $6 y x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) - y$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) + y \cdot - 1$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (6 x) + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (6 x - 1)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 x - 1$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (6 x - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 6 x - 1 d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{2} - x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{3 x^{2} - x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{2} - x + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$ um.

$| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{3 x^{2} - x + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{3 x^{2} - x + C}$ als $e^{3 x^{2} - x} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{3 x^{2} - x} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{3 x^{2} - x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{3 x^{2} - x}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{3 x^{2} - x}$