Analysis Beispiele

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Schritt 1.2

Forme um.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Schritt 2.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y \ln (\frac{x}{y})$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \ln (y)$ und $g (y) = \frac{x}{y}$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.5.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.6

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x}{y}$ zu dividieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{y}{x}$ und $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.9

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.10

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.13

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.14

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.14.1

Kombiniere $x$ und $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.14.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.14.3

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.16

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.16.1

Bewege $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.16.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.16.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.17

Vereinfache $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Schritt 2.19

Mutltipliziere $\ln (\frac{x}{y})$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Schritt 2.20

Vereinfache.

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Schritt 2.20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 2.20.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $1 - \ln (\frac{x}{y})$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1 - \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 5.3.2.3

Multipliziere $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 5.3.2.3.2

Mutltipliziere $\ln (\frac{x}{y})$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 5.3.2.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 5.3.2.5

Addiere $0$ und $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 5.3.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (\frac{x}{y})$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- y}$

Schritt 5.3.5

Ersetze $M$ durch $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Schritt 5.3.5.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Schritt 5.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $- \ln (| y |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Schritt 6.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Schritt 6.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- y (\ln (x) - \ln (y))$ mit $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y (\ln (x) - \ln (y))$ heraus.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Schritt 7.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Schritt 7.4

Schreibe $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ als $- \ln (\frac{x}{y})$ um.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $x$ mit $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 7.6

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = \frac{x}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 9.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Schritt 9.3

Vereinfache.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 12

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Forme um.

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Schritt 13.1.2

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 13.1.2.1

Subtrahiere $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Schritt 13.1.2.2

Forme um.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Schritt 13.1.3

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Schritt 13.1.3.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Schritt 13.1.3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Schritt 13.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y \ln (\frac{x}{y})$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Schritt 13.1.3.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \ln (y)$ und $g (y) = \frac{x}{y}$ .

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Schritt 13.1.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.5.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.6

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x}{y}$ zu dividieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.7

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.8

Kombiniere $\frac{y}{x}$ und $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.9

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.10

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.13

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.14

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.1.3.14.1

Kombiniere $x$ und $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 13.1.3.14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.14.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.14.3

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.16

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.3.16.1

Bewege $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.16.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.16.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.17

Vereinfache $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 13.1.3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Schritt 13.1.3.19

Mutltipliziere $\ln (\frac{x}{y})$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Schritt 13.1.3.20

Vereinfache.

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Schritt 13.1.3.20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 13.1.3.20.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 13.1.4

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x$ .

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Schritt 13.1.4.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 13.1.5

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 13.1.5.1

Setze $1 - \ln (\frac{x}{y})$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Schritt 13.1.5.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 13.1.6

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 13.1.6.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 13.1.6.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1 - \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Schritt 13.1.6.3

Ersetze $M$ durch $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Schritt 13.1.6.3.1

Ersetze $M$ durch $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 13.1.6.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.6.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 13.1.6.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 13.1.6.3.2.3

Multipliziere $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

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Schritt 13.1.6.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 13.1.6.3.2.3.2

Mutltipliziere $\ln (\frac{x}{y})$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 13.1.6.3.2.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 13.1.6.3.2.5

Addiere $0$ und $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Schritt 13.1.6.3.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Schritt 13.1.6.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (\frac{x}{y})$ .

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Schritt 13.1.6.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Schritt 13.1.6.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- y}$

Schritt 13.1.6.3.5

Ersetze $M$ durch $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Schritt 13.1.6.3.5.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Schritt 13.1.6.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y}$

Schritt 13.1.6.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 13.1.7

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 13.1.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 13.1.7.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 13.1.7.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Schritt 13.1.7.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.7.4.1

Vereinfache $- \ln (| y |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Schritt 13.1.7.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Schritt 13.1.7.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Schritt 13.1.8

Multipliziere beide Seiten von $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 13.1.8.1

Mutltipliziere $- y (\ln (x) - \ln (y))$ mit $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Schritt 13.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 13.1.8.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y (\ln (x) - \ln (y))$ heraus.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Schritt 13.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Schritt 13.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Schritt 13.1.8.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Schritt 13.1.8.4

Schreibe $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ als $- \ln (\frac{x}{y})$ um.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Schritt 13.1.8.5

Mutltipliziere $x$ mit $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 13.1.8.6

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Schritt 13.1.9

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Schritt 13.1.10

Integriere $N (x, y) = \frac{x}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 13.1.10.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 13.1.10.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Schritt 13.1.10.3

Vereinfache.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Schritt 13.1.11

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Schritt 13.1.12

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 13.1.13

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.1.13.1

Vereinfache $\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ .

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Schritt 13.1.13.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 13.1.13.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 13.1.13.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 13.1.13.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $x \ln (| y |) + g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 13.1.13.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (| y |) + g x$ heraus.

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Schritt 13.1.13.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (| y |)$ heraus.

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 13.1.13.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $g x$ heraus.

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 13.1.13.1.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (| y |) + x g$ heraus.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 13.1.13.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 13.1.13.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 13.1.13.1.4.2

Dividiere $\ln (| y |) + g$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 13.1.14

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

Schritt 13.1.15

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

Schritt 13.1.16

Kombiniere $| y |$ und $\frac{x}{y}$ .

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

Schritt 13.1.17

Stelle die Faktoren in $\ln (\frac{| y | x}{y})$ um.

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- g$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ .

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ .

$g (x) = \int - g d x$

Schritt 14.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = - g x + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$