Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 9} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Schritt 1.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $\frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 1.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = (x + 3) (x - 3)$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = (x + 3) (x - 3)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 3$ und $g (x) = x - 3$ .

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.2.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.2.1.3.4.2

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.2.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.3.2.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.3.2.1.3.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

Schritt 2.3.2.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.2.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.3.8.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$x + 3 + x - 3$

Schritt 2.3.2.1.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 3 - 3$

Schritt 2.3.2.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.3.2.1.3.8.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.2.1.3.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $\ln (| (x + 3) (x - 3) |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} = C$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 3) + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 3.3.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 3.4

Um $\ln (| y |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $\ln (| y |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 3.7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2}$ .

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Schritt 3.7.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Schritt 3.7.1.2

Schreibe $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ um.

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |) = C$

Schritt 3.7.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 9 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.7.1.4

Wende die Produktregel auf $y^{2} | x^{2} - 9 |$ an.

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.7.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.7.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.7.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.7.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.7.1.6

Vereinfache.

$\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.8

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Schritt 3.9

Schreibe $\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.10.1

Schreibe die Gleichung als $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ um.

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Schritt 3.10.2

Teile jeden Ausdruck in $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ durch ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 3.10.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ durch ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.10.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.10.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$