Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ , $y (1) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x^{1}}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x}{1}$

Schritt 1.3.2.5

Dividiere $4 x$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 4 x$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = 4 x$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 4 x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (4 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (4 x)$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (4 x)$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{2} x$

Schritt 3.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x \cdot x^{2})$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x^{1} x^{2})$

Schritt 3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{1 + 2}$

Schritt 3.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{3}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 4 x^{3}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 4 x^{3} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int 4 x^{3} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$x^{2} y = 4 \int x^{3} d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ als $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ um.

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Schritt 7.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} y = 1 x^{4} + C$

Schritt 7.3.2.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{2} y = x^{4} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = x^{4} + C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = x^{4} + C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.4

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ ersetzt wird.

$0 = 1^{2} + \frac{C}{1^{2}}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$ um.

$1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + \frac{C}{1^{2}} = 0$

Schritt 10.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + \frac{C}{1} = 0$

Schritt 10.2.3

Dividiere $C$ durch $1$ .

$1 + C = 0$

Schritt 10.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = - 1$

Schritt 11

Setze $- 1$ für $C$ in $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $- 1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Schritt 11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$