Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{4 x}{9 y})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{4 x}{9 y}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{9 y}$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $y$ aus $9 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

Schritt 1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

Schritt 1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = - \frac{4 x}{9} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int - \frac{4 x}{9} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{9} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{9} d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{4}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{4}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{4}{9} \int x d x)$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{18} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $18$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 (2)}{18} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{9} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{2}{9} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{9}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere $2 (- \frac{2 x^{2}}{9})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{2 x^{2}}{9} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 (2 x^{2})}{9} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y^{2} = \frac{- 4 x^{2}}{9} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{4 x^{2}}{9}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)}$

Schritt 3.4.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + K \cdot 9}{9}}$

Schritt 3.4.4

Bringe $9$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}}$

Schritt 3.4.5

Kombiniere $2$ und $\frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe $\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $2 (- 2 x^{2} + 9 K)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{9}}$

Schritt 3.4.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 3.4.6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}$

Schritt 3.4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$

Schritt 3.4.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$