Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} + y$ , $y (0) = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - y = - x^{2}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x^{2})$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x^{2})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x^{2} e^{- x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x^{2} e^{- x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x} y = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = - \int x^{2} e^{- x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x)$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x)$

Schritt 7.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x))$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x)$

Schritt 7.6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x))$

Schritt 7.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x))$

Schritt 7.8

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x))$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x))$

Schritt 7.9

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.9.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.9.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 7.9.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u))$

Schritt 7.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u))$

Schritt 7.11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$

Schritt 7.12

Schreibe $- (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$ als $- (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$ um.

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$

Schritt 7.13

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}) + C$

Schritt 7.14

Vereinfache.

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Schritt 7.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Schritt 7.14.2

Vereinfache.

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Schritt 7.14.2.1

Multipliziere $- (- x^{2} e^{- x})$ .

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Schritt 7.14.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = 1 (x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Schritt 7.14.2.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Schritt 7.14.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Schritt 7.14.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) + 2 e^{- x} + C$

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ ersetzt wird.

$0 = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$ um.

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Schritt 10.2

Vereinfache $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$ .

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Schritt 10.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{1} = 0$

Schritt 10.2.1.4

Dividiere $C$ durch $1$ .

$0 + 0 + 2 + C = 0$

Schritt 10.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + 2 + C$ .

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Schritt 10.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 2 + C = 0$

Schritt 10.2.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2 + C = 0$

Schritt 10.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = - 2$

Schritt 11

Setze $- 2$ für $C$ in $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $- 2$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{- 2}{e^{- x}}$

Schritt 11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = x^{2} + 2 x + 2 - \frac{2}{e^{- x}}$