Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{12 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{12 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{12 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 12 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 8 + x^{3}$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 8 + x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $8 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2.1.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $0$ und $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 12 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 12 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $12$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $4 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $4 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 4 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y + C_{1} = 8 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $8 + x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 8 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + K$