Analysis Beispiele

$3 \frac{d y}{d x} = (4 x^{3} - 1) y^{4}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} ((4 x^{3} - 1) y^{4})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y^{4}$ aus $(4 x^{3} - 1) y^{4}$ heraus.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = 4 x^{3} - 1$

Schritt 1.3

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{y^{4}}$ und $3$ .

$\int \frac{3}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.3.1

Bringe $y^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int y^{4 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$3 \int y^{- 4} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 4}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1.1

Kombiniere $y^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.5.1.2

Bringe $y^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.5.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$\frac{- 3}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 2.2.5.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{3}$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.2.5.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{3}, 1, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{3}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ mit $y^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ mit $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y^{3}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$ um.

$x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y^{3}$ aus $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $x^{4} y^{3}$ heraus.

$y^{3} x^{4} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y^{3}$ aus $- x y^{3}$ heraus.

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + K y^{3} = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y^{3}$ aus $K y^{3}$ heraus.

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + y^{3} K = - 1$

Schritt 3.3.2.4

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{3} x^{4} + y^{3} (- x)$ heraus.

$y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K = - 1$

Schritt 3.3.2.5

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K$ heraus.

$y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ durch $x^{4} - x + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ durch $x^{4} - x + K$ .

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4} - x + K$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{1}{x^{4} - x + K}$

Schritt 3.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Schreibe $- \frac{1}{x^{4} - x + K}$ als ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}$ um.

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Schritt 3.3.5.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Schritt 3.3.5.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Schritt 3.3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Schritt 3.3.5.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Schritt 3.3.5.4

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

Schritt 3.3.5.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

Schritt 3.3.5.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}})$

Schritt 3.3.5.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

Schritt 3.3.5.7.2

Potenziere $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ mit $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

Schritt 3.3.5.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.3.5.7.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}}$

Schritt 3.3.5.7.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}$ als $x^{4} - x + K$ um.

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Schritt 3.3.5.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ als ${(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{({(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.3.5.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.3.5.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.3.5.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.5.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.3.5.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{1}}$

Schritt 3.3.5.7.5.5

Vereinfache.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{x^{4} - x + K}$

Schritt 3.3.5.8

Schreibe ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}}{x^{4} - x + K}$