Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x^{2} \cdot \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x^{2} \cdot \sin (x)$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $- \frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2} \cdot \sin (x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Schritt 3.2.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Schritt 3.2.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Schritt 3.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Schritt 3.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \cdot \sin (x)$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \cdot \sin (x)))$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \cdot \sin (x)))$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \cdot \sin (x)$

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \sin (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x \sin (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} y = \int x \sin (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Schritt 7.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\int \cos (x) d x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Schritt 7.4

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Schritt 7.5

Schreibe $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ als $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ um.

$\frac{1}{x} y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{y}{x} = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- x \cos (x) + \sin (x) + C) x$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (- x \cos (x) + \sin (x) + C) x$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (- x \cos (x) + \sin (x) + C) x$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(- x \cos (x) + \sin (x) + C) x$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - x \cos (x) x + \sin (x) x + C x$

Schritt 8.3.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = - (x \cdot x) \cos (x) + \sin (x) x + C x$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = - x^{2} \cos (x) + \sin (x) x + C x$

Schritt 8.3.2.1.3

Stelle die Faktoren in $- x^{2} \cos (x) + \sin (x) x + C x$ um.

$y = - x^{2} \cos (x) + x \sin (x) + C x$

Schritt 8.3.2.1.4

Bewege $x \sin (x)$ .

$y = - x^{2} \cos (x) + C x + x \sin (x)$

Schritt 8.3.2.1.5

Stelle $- x^{2} \cos (x)$ und $C x$ um.

$y = C x - x^{2} \cos (x) + x \sin (x)$