Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $28$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $28$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 28 \int t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 7 t^{2} - 5$ . Dann ist $d u = 14 t d t$ , folglich $\frac{1}{14} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 7 t^{2} - 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $7 t^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d t} [7 t^{2} - 5]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 t^{2} - 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7 t^{2}$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$14 t + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $14 t$ und $0$ .

$14 t$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$s + C_{1} = 28 \int u^{3} \frac{1}{14} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{14}$ .

$s + C_{1} = 28 \int \frac{u^{3}}{14} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{14}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{14}$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 28 (\frac{1}{14} \int u^{3} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{14}$ und $28$ .

$s + C_{1} = \frac{28}{14} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $28$ und $14$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $14$ aus $28$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $14$ aus $14$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 (1)} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ um.

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $7 t^{2} - 5$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $t$ und $5$ für $s$ in $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ ersetzt wird.

$5 = \frac{1}{2} {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 5$ um.

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 5$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1 - 5)}^{4} + K = 5$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(7 - 5)}^{4} + K = 5$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 5$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{4}$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 5$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 5$

Schritt 4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2^{3} + K = 5$

Schritt 4.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 + K = 5$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 5 - 8$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $8$ von $5$ .

$K = - 3$

Schritt 5

Setze $- 3$ für $K$ in $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 3$ .

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} - 3$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$s = \frac{1}{2} ({(7 t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Produktregel auf $7 t^{2}$ an.

$s = \frac{1}{2} (7^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.2

Potenziere $7$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{4}$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{2 \cdot 4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.4

Wende die Produktregel auf $7 t^{2}$ an.

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (7^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $7$ mit $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{6}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.7

Mutltipliziere $343$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 1372 t^{6} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $1372$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.9

Wende die Produktregel auf $7 t^{2}$ an.

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (7^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.10

Potenziere $7$ mit $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.11

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{2 \cdot 2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{4}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.12

Mutltipliziere $49$ mit $6$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.13

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} \cdot 25 + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.14

Mutltipliziere $25$ mit $294$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.15

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.16

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} \cdot - 125 + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.17

Mutltipliziere $- 125$ mit $28$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Schritt 5.2.2.18

Potenziere $- 5$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + 625) - 3$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (2401 t^{8})$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $2401$ und $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{2401}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Schritt 5.2.4.1.2

Kombiniere $\frac{2401}{2}$ und $t^{8}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6860 t^{6}$ heraus.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Schritt 5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $7350 t^{4}$ heraus.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Schritt 5.2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Schritt 5.2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 3500 t^{2}$ heraus.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Schritt 5.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Schritt 5.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Schritt 5.2.4.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $625$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} - 3$

Schritt 5.3

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 - 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 - 6}{2}$

Schritt 5.6.2

Subtrahiere $6$ von $625$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{619}{2}$