Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x - \sin (x)$ , $y (π) = 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x - \sin (x)) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x - \sin (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x - \sin (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x d x + \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - \int \sin (x) d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - - \cos (x) + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \cos (x) + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $π$ für $x$ und $3$ für $y$ in $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ ersetzt wird.

$3 = \frac{1}{2} π^{2} + \cos (π) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$ um.

$\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} + \cos (π) + K = 3$

Schritt 4.2.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (0) + K = 3$

Schritt 4.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 \cdot 1 + K = 3$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 + K = 3$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{π^{2}}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 1 + K = 3 - \frac{π^{2}}{2}$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 3 - \frac{π^{2}}{2} + 1$

Schritt 4.3.3

Addiere $3$ und $1$ .

$K = - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Schritt 5

Setze $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ für $K$ in $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$