Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = x^{2} + 8$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = x^{2} + 8$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Kombiniere $u^{- \frac{1}{3}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $u^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 2.3.5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.2.1

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ als $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.3.7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 8$ .

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ ersetzt wird.

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ um.

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Schritt 4.2.3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Schritt 4.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

Schritt 4.2.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 \cdot 4 + K = 0$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 + K = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 12$

Schritt 5

Setze $- 12$ für $K$ in $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 12$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$