Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 6 x + 11$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 3$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 3 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{3 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (6 x) + e^{3 x} \cdot 11$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (6 x) + e^{3 x} \cdot 11$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 11$

Schritt 2.3.2

Bringe $11$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x + 11 e^{3 x}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x + 11 e^{3 x}$ um.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 6 x e^{3 x} + 11 e^{3 x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 6 x e^{3 x} + 11 e^{3 x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 6 x e^{3 x} + 11 e^{3 x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{3 x} y = \int 6 x e^{3 x} + 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{3 x} y = \int 6 x e^{3 x} d x + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 6 \int x e^{3 x} d x + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.4.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x) + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)) + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.6

Sei $u_{1} = 3 x$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.6.1

Es sei $u_{1} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.6.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 6.6.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 6.6.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 6.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}) + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.7

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.8

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.9

Vereinfache.

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Schritt 6.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.10

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int 11 e^{3 x} d x$

Schritt 6.11

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $11$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 11 \int e^{3 x} d x$

Schritt 6.12

Sei $u_{2} = 3 x$ . Dann ist $d u_{2} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.12.1

Es sei $u_{2} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 6.12.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 6.12.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 6.12.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 6.12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 11 \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 6.13

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 11 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Schritt 6.14

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 11 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 6.15

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $11$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{11}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6.16

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{11}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 6.17

Vereinfache.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + \frac{11}{3} e^{u_{2}} + C$

Schritt 6.18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 6.18.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{11}{3} e^{u_{2}} + C$

Schritt 6.18.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19

Vereinfache.

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Schritt 6.19.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.19.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.1.2

Kombiniere $\frac{x}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.1.3

Kombiniere $e^{3 x}$ und $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{3 x} y = 6 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.19.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$e^{3 x} y = 3 (2) \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.19.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{3 x}}{9}$ in den Zähler.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 \frac{- e^{3 x}}{9} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.4.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{3 x}}{9} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.4.3

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.4.5

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 2 \frac{- e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.5

Kombiniere $2$ und $\frac{- e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{2 (- e^{3 x})}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{- 2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.8

Um $2 x e^{3 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.9

Kombiniere $2 x e^{3 x}$ und $\frac{3}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.19.11.1

Faktorisiere $2 e^{3 x}$ aus $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ heraus.

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Schritt 6.19.11.1.1

Faktorisiere $2 e^{3 x}$ aus $2 x e^{3 x} \cdot 3$ heraus.

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.11.1.2

Faktorisiere $2 e^{3 x}$ aus $- 2 e^{3 x}$ heraus.

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.11.1.3

Faktorisiere $2 e^{3 x}$ aus $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ heraus.

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 6.19.11.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

$e^{3 x} y = \frac{2}{3} e^{3 x} (3 x - 1) + \frac{11}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C$ durch $e^{3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C$ durch $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{\frac{11}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{\frac{11}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{\frac{11}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x) + e^{3 x} \cdot - 1) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot - 1) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - 1 \cdot e^{3 x}) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.4

Schreibe $- 1 e^{3 x}$ als $- e^{3 x}$ um.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - e^{3 x}) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 e^{3 x} x$ heraus.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.7

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.8

Vereinige $2 e^{3 x} x$ und $- \frac{2 e^{3 x}}{3}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 7.3.2.8.1

Bewege $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.8.2

Um $2 x e^{3 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.8.3

Kombiniere $2 x e^{3 x}$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.2.9.1

Faktorisiere $2 e^{3 x}$ aus $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ heraus.

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Schritt 7.3.2.9.1.1

Faktorisiere $2 e^{3 x}$ aus $2 x e^{3 x} \cdot 3$ heraus.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.9.1.2

Faktorisiere $2 e^{3 x}$ aus $- 2 e^{3 x}$ heraus.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.9.1.3

Faktorisiere $2 e^{3 x}$ aus $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ heraus.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.9.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + \frac{11}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.2.10

Kombiniere $\frac{11}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + \frac{11 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{C + \frac{2 e^{3 x} (3 x - 1) + 11 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{C + \frac{2 e^{3 x} (3 x) + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + 11 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{C + \frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + 11 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{C + \frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 11 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{C + \frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 11 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 7.3.5.1

Addiere $- 2 e^{3 x}$ und $11 e^{3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{6 e^{3 x} x + 9 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.5.2

Stelle die Faktoren in $6 e^{3 x} x + 9 e^{3 x}$ um.

$y = \frac{C + \frac{6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.6.1

Faktorisiere $3 e^{3 x}$ aus $6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x}$ heraus.

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Schritt 7.3.6.1.1

Faktorisiere $3 e^{3 x}$ aus $6 x e^{3 x}$ heraus.

$y = \frac{C + \frac{3 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x}}{3}}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.6.1.2

Faktorisiere $3 e^{3 x}$ aus $9 e^{3 x}$ heraus.

$y = \frac{C + \frac{3 e^{3 x} (2 x) + 3 e^{3 x} (3)}{3}}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.6.1.3

Faktorisiere $3 e^{3 x}$ aus $3 e^{3 x} (2 x) + 3 e^{3 x} (3)$ heraus.

$y = \frac{C + \frac{3 e^{3 x} (2 x + 3)}{3}}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{C + \frac{3 e^{3 x} (2 x + 3)}{3}}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.6.2.2

Dividiere $e^{3 x} (2 x + 3)$ durch $1$ .

$y = \frac{C + e^{3 x} (2 x + 3)}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{C + e^{3 x} (2 x) + e^{3 x} \cdot 3}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{C + 2 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 3}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.6.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$y = \frac{C + 2 e^{3 x} x + 3 e^{3 x}}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.7

Stelle die Faktoren in $C + 2 e^{3 x} x + 3 e^{3 x}$ um.

$y = \frac{C + 2 x e^{3 x} + 3 e^{3 x}}{e^{3 x}}$