Analysis Beispiele

$(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y}$ durch $10 + x^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y}$ durch $10 + x^{4}$ .

$\frac{(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x}}{10 + x^{4}} = \frac{\frac{x^{3}}{y}}{10 + x^{4}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 + x^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x}}{10 + x^{4}} = \frac{\frac{x^{3}}{y}}{10 + x^{4}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{3}}{y}}{10 + x^{4}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y} \cdot \frac{1}{10 + x^{4}}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{y}$ mit $\frac{1}{10 + x^{4}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (10 + x^{4})}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{10 + x^{4}} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{3}}{10 + x^{4}} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{10 + x^{4}}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{(10 + x^{4}) y}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(10 + x^{4}) y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{y (10 + x^{4})}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{y (10 + x^{4})}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{10 + x^{4}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{x^{3}}{10 + x^{4}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{x^{3}}{10 + x^{4}} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{3}}{10 + x^{4}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{4})}^{1}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{3}}{10 + {(x^{4})}^{1}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{1} = x^{4}$ . Dann ist $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{1} = x^{4}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{10 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{10 + u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{10 + u_{1}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{(10 + u_{1}) \cdot 4} d u_{1}$

Schritt 2.3.3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $10 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{4 (10 + u_{1})} d u_{1}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{10 + u_{1}} d u_{1}$

Schritt 2.3.5

Sei $u_{2} = 10 + u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u_{2} = 10 + u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $10 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [10 + u_{1}]$

Schritt 2.3.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 + u_{1}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [10] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [10] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 2.3.5.1.3

Da $10$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 2.3.5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.3.5.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.3.8.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $10 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| 10 + u_{1} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (| 10 + x^{4} |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{4} |)}{4} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{4} |)}{4} + C \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{4}{4}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{4} |)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + C \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + C \cdot 4}{2 (2)}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + C \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + C \cdot 4}{2}$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $C$ .

$y^{2} = \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}{2}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}{2}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}{2}}$ als $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C) \cdot 2}}{2}$

Schritt 3.4.5

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C) \cdot 2}}{2}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + C)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + C)}}{2}$