Analysis Beispiele

$9 y \frac{d y}{d x} = 7 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$9 y d y = 7 x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 9 y d y = \int 7 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int y d y = \int 7 x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 7 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = 7 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $7 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ als $7 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ um.

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{9}{2} y^{2} = \frac{7}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9} (\frac{9}{2} y^{2}) = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{9} (\frac{9}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{9 y^{2}}{2} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kombinieren.

$\frac{2 (9 y^{2})}{9 \cdot 2} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (9 y^{2})}{9 \cdot 2} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.4.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{9} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{7}{3}$ und $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{9} (\frac{7 x^{3}}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{7 x^{3}}{3} + \frac{2}{9} K$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kombinieren.

$y^{2} = \frac{2 (7 x^{3})}{9 \cdot 3} + \frac{2}{9} K$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{2}{9}$ und $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (7 x^{3})}{9 \cdot 3} + \frac{2 K}{9}$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$y^{2} = \frac{14 x^{3}}{9 \cdot 3} + \frac{2 K}{9}$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$y^{2} = \frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K}{9}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K}{9}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K}{9}}$ .

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Schritt 3.4.1

Um $\frac{2 K}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K}{9} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 K}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K \cdot 3}{9 \cdot 3}}$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{27} + \frac{2 K \cdot 3}{27}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3} + 2 K \cdot 3}{27}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $14 x^{3} + 2 K \cdot 3$ heraus.

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Schritt 3.4.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $14 x^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{27}}$

Schritt 3.4.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{27}}$

Schritt 3.4.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (7 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + K \cdot 3)}{27}}$

Schritt 3.4.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{27}}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{27}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{3}$ um.

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Schritt 3.4.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $2 (7 x^{3} + 3 K)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (7 x^{3} + 3 K))}{27}}$

Schritt 3.4.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $27$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (7 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (2 (7 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 3}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{3}}$

Schritt 3.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{3}}$

Schritt 3.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ um.

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.8

Kombinieren.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.11.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 3.4.11.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Schritt 3.4.11.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Schritt 3.4.11.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.11.6

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.4.11.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.4.11.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.11.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.11.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.11.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.11.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.11.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Schritt 3.4.11.7.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.12.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.4.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.4.13

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + 3 K)}}{9}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (7 x^{3} + K)}}{9}$