Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1$ , $y (1) = 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \int \frac{x}{2} d x + \int d x$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int d x$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int d x$

Schritt 2.3.8

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + x + C_{4}$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + C_{5}$

Schritt 2.3.10

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $2$ für $y$ in $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ ersetzt wird.

$2 = \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$ um.

$\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1 + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.2

Um $\frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.3

Um $- \frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{12} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 4 - 3}{12} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 - 3}{12} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$\frac{5}{12} + 1 + K = 2$

Schritt 4.2.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{12} + \frac{12}{12} + K = 2$

Schritt 4.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 + 12}{12} + K = 2$

Schritt 4.2.9

Addiere $5$ und $12$ .

$\frac{17}{12} + K = 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{17}{12}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 2 - \frac{17}{12}$

Schritt 4.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$K = 2 \cdot \frac{12}{12} - \frac{17}{12}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{12}{12}$ .

$K = \frac{2 \cdot 12}{12} - \frac{17}{12}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{2 \cdot 12 - 17}{12}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$K = \frac{24 - 17}{12}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $17$ von $24$ .

$K = \frac{7}{12}$

Schritt 5

Setze $\frac{7}{12}$ für $K$ in $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{7}{12}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{3}$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{7}{12}$