Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{2}{x}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x)}$

Schritt 1.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{2})}$

Schritt 1.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{2}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

Schritt 2.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

Schritt 2.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

Schritt 2.3.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{1}{5} x^{5}$ heraus.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{1}{5} x^{3}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $\frac{2}{5}$ für $y$ in $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ ersetzt wird.

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

Schritt 9

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ um.

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Schritt 9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Schritt 9.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Schritt 9.2.3

Dividiere $C$ durch $1$ .

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

Schritt 9.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.3.1

Subtrahiere $\frac{1}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{2 - 1}{5}$

Schritt 9.3.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$C = \frac{1}{5}$

Schritt 10

Setze $\frac{1}{5}$ für $C$ in $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 10.1

Ersetze $C$ durch $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 10.2.2

Kombinieren.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$