Analysis Beispiele

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 y + t$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + t$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

Schritt 3.3

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

Schritt 3.4

Da $t$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $t$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = 0$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1$ .

$\frac{0 - 1}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $y$ .

$\frac{0 - 1}{y}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{y}$

Schritt 5.3.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

$- \frac{1}{y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $- \ln (| y |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Schritt 6.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Schritt 6.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $y d t + (2 y + t) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $y$ mit $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2 y + t$ mit $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $2 y + t$ mit $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = 1$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = x + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Schritt 12.3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Schritt 12.5

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{2 y + t}{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Schritt 13.3

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

Schritt 13.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Schritt 13.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 13.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Schritt 13.5.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

Schritt 13.6

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

Schritt 13.7

Da $t$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $t$ aus dem Integral.

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 13.8

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

Schritt 13.9

Vereinfache.

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$