Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{3 y - 2 y + 5}$ .

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 2 y + 5$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 5}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \frac{1}{2 x + 5} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $2 y$ von $3 y$ .

$\int \frac{1}{y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u_{1} = y + 5$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u_{1} = y + 5$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $y + 5$ .

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

Schritt 2.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 5$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

Schritt 2.2.2.1.4

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Schritt 2.2.4

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 5$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = 2 x + 5$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = 2 x + 5$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x + 5$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 5 |) = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 2 x + 5 |)$ .

$\ln (| y + 5 |) = \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y + 5 |) - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Schritt 3.3

Um $\ln (| y + 5 |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $\ln (| y + 5 |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Schritt 3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2 - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| y + 5 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Schritt 3.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache $\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2}$ .

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Schritt 3.6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y + 5 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({| y + 5 |}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Schritt 3.6.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y + 5 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{\ln ({(y + 5)}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Schritt 3.6.1.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2} = C$

Schritt 3.6.1.2

Schreibe $\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ um.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}) = C$

Schritt 3.6.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}$ an.

$\ln (\frac{{({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.6.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{1}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.2

Vereinfache.

$\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Schritt 3.8

Schreibe $\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ um.

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Schritt 3.9.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 5 = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = C {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$