Analysis Beispiele

$(3 x y + y^{2}) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 x y + y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + y^{2}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x y + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x y$ nach $y$ gleich $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x y + x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + x^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 2 x$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 x + 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x + y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 x + 2 y = 2 x + y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$3 x + 2 y = 2 x + y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $3 x + 2 y$ .

$\frac{3 x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x + y$ .

$\frac{3 x + 2 y - (2 x + y)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x y + x^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x y + x^{2}$ .

$\frac{3 x + 2 y - (2 x + y)}{x y + x^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 2 y - (2 x) - y}{x y + x^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x + 2 y - 2 x - y}{x y + x^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$\frac{x + 2 y - y}{x y + x^{2}}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $y$ von $2 y$ .

$\frac{x + y}{x y + x^{2}}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x y + x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{x + y}{x (y) + x^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x + y}{x (y) + x \cdot x}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (y) + x \cdot x$ heraus.

$\frac{x + y}{x (y + x)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + y$ und $y + x$ .

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Schritt 4.3.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{x + y}{x (x + y)}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + y}{x (x + y)}$

Schritt 4.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Schritt 5.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | x | + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(3 x y + y^{2}) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3 x y + y^{2}$ mit $x$ .

$(3 x y + y^{2}) x d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x y x + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1

Bewege $x$ .

$(3 (x \cdot x) y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x y + x^{2}$ mit $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) x d y = 0$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y x + x^{2} x) d y = 0$

Schritt 6.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1

Bewege $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x \cdot x y + x^{2} x) d y = 0$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2} x) d y = 0$

Schritt 6.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2} x^{1}) d y = 0$

Schritt 6.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2 + 1}) d y = 0$

Schritt 6.7.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{3}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} x d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2} x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} x d x$

Schritt 8.2

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3 y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} x d x$

Schritt 8.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} x d x$

Schritt 8.4

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} \int x d x$

Schritt 8.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 8.7

Vereinfache.

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Schritt 8.7.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 8.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 8.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 8.7.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 8.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 8.7.5

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Schritt 8.8

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x^{3}$ nach $y$ gleich $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.4

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Schritt 11.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.4.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.4.3

Da $\frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ nach $y$ gleich $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.4.5

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.4.6

Kombiniere $\frac{2 x^{2}}{2}$ und $y$ .

$x^{3} + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.4.7.2

Dividiere $x^{2} y$ durch $1$ .

$x^{3} + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{3} + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 11.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + x^{2} y = x^{2} y + x^{3}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + x^{3} - x^{3}$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + x^{3} - x^{3} - x^{2} y$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} y + x^{3} - x^{3} - x^{2} y$ .

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Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $x^{3}$ von $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 0 - x^{2} y$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $x^{2} y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y - x^{2} y$

Schritt 12.1.3.3

Subtrahiere $x^{2} y$ von $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Schritt 15.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$