Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + y - 1$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - y = x^{2} - 1$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x^{2} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x^{2} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x^{2} - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x^{2} - e^{- x}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x^{2} - e^{- x}$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x^{2} e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x^{2} e^{- x} - e^{- x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x^{2} e^{- x} - e^{- x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x} y = \int x^{2} e^{- x} - e^{- x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{- x} y = \int x^{2} e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.8

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.9

Sei $u_{1} = - x$ . Dann ist $d u_{1} = - d x$ , folglich $- d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.9.1

Es sei $u_{1} = - x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.9.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 7.9.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.11

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

Schritt 7.13

Sei $u_{2} = - x$ . Dann ist $d u_{2} = - d x$ , folglich $- d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.13.1

Es sei $u_{2} = - x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 7.13.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 7.13.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.13.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.13.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.13.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.14

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.15

Vereinfache.

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Schritt 7.15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.15.2

Mutltipliziere $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.16

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.17

Vereinfache.

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Schritt 7.17.1

Vereinfache.

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.17.2

Addiere $- 2 e^{u_{1}}$ und $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{u_{1}} + C$

Schritt 7.18

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $- x^{2}$ durch $1$ .

$y = - x^{2} + \frac{- 2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - x^{2} + \frac{- 2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Dividiere $- 2 x$ durch $1$ .

$y = - x^{2} - 2 x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - x^{2} - 2 x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y = - x^{2} - 2 x - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$