Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{x - y}$ , $y (0) = \ln (8)$

Schritt 1

Es sei $v = e^{x - y}$ . Ersetze $v$ für alle $e^{x - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 v$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $e^{x - y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 3

Ersetze $e^{x - y}$ durch $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Schritt 4

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = 2 v$

Schritt 5

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Löse nach $\frac{d v}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$

Schritt 5.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.1.2.2.2

Dividiere $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ durch $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (2 v) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.1.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 v)$ als $- (2 v)$ um.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (2 v) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 v + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.1.2.3.1.4

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 v + 1$

Schritt 5.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- 2 v + 1) v$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- 2 v + 1) v$

Schritt 5.1.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = (- 2 v + 1) v$

Schritt 5.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.2.1

Vereinfache $(- 2 v + 1) v$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v \cdot v + 1 v$

Schritt 5.1.4.2.1.2

Multipliziere $v$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.2.1.2.1

Bewege $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 (v \cdot v) + 1 v$

Schritt 5.1.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{2} + 1 v$

Schritt 5.1.4.2.1.3

Mutltipliziere $v$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{2} + v$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{- 2 v^{2} + v}$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v^{2} + v} (- 2 v^{2} + v)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $v$ aus $- 2 v^{2} + v$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $v$ aus $- 2 v^{2}$ heraus.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v} (- 2 v^{2} + v)$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v^{1}} (- 2 v^{2} + v)$

Schritt 5.3.1.3

Faktorisiere $v$ aus $v^{1}$ heraus.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v \cdot 1} (- 2 v^{2} + v)$

Schritt 5.3.1.4

Faktorisiere $v$ aus $v (- 2 v) + v \cdot 1$ heraus.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v + 1)} (- 2 v^{2} + v)$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{v (- 2 v + 1)}$ mit $- 2 v^{2} + v$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v^{2} + v}{v (- 2 v + 1)}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $v$ aus $- 2 v^{2} + v$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $v$ aus $- 2 v^{2}$ heraus.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v}{v (- 2 v + 1)}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v^{1}}{v (- 2 v + 1)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $v$ aus $v^{1}$ heraus.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v \cdot 1}{v (- 2 v + 1)}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $v$ aus $v (- 2 v) + v \cdot 1$ heraus.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v + 1)}{v (- 2 v + 1)}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v + 1)}{v (- 2 v + 1)}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v + 1}{- 2 v + 1}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 v + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v + 1}{- 2 v + 1}$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = 1$

Schritt 5.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} d v = 1 d x$

Schritt 6

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{- 2 v^{2} + v} d v = \int d x$

Schritt 6.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1

Faktorisiere $v$ aus $- 2 v^{2} + v$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1.1

Faktorisiere $v$ aus $- 2 v^{2}$ heraus.

$\frac{1}{v (- 2 v) + v}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{1}{v (- 2 v) + v^{1}}$

Schritt 6.2.1.1.1.3

Faktorisiere $v$ aus $v^{1}$ heraus.

$\frac{1}{v (- 2 v) + v \cdot 1}$

Schritt 6.2.1.1.1.4

Faktorisiere $v$ aus $v (- 2 v) + v \cdot 1$ heraus.

$\frac{1}{v (- 2 v + 1)}$

Schritt 6.2.1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $v (- 2 v + 1)$ .

$\frac{1 (v (- 2 v + 1))}{v (- 2 v + 1)} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (v (- 2 v + 1))}{v (- 2 v + 1)} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (- 2 v + 1)}{- 2 v + 1} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 v + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (- 2 v + 1)}{- 2 v + 1} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.1.6.1.2

Dividiere $A (- 2 v + 1)$ durch $1$ .

$1 = A (- 2 v + 1) + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A (- 2 v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.1.6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = - 2 A v + A \cdot 1 + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.1.6.4

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = - 2 A v + A + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.1.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 v + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = - 2 A v + A + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.1.6.5.2

Dividiere $B v$ durch $1$ .

$1 = - 2 A v + A + B v$

Schritt 6.2.1.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.7.1

Bewege $A$ .

$1 = - 2 v A + A + B v$

Schritt 6.2.1.1.7.2

Stelle $B$ und $v$ um.

$1 = - 2 v A + A + B v$

Schritt 6.2.1.1.7.3

Bewege $A$ .

$1 = - 2 v A + B v + A$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $v$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 2 A + B$

Schritt 6.2.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $v$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 6.2.1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

Schritt 6.2.1.3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.3.1

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$0 = - 2 A + B$

Schritt 6.2.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = - 2 A + B$ durch $1$ .

$0 = - 2 \cdot 1 + B$

$A = 1$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

Schritt 6.2.1.3.3

Löse in $0 = - 2 + B$ nach $B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 + B = 0$ um.

$- 2 + B = 0$

$A = 1$

Schritt 6.2.1.3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

Schritt 6.2.1.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$B = 2 A = 1$

Schritt 6.2.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = 2, A = 1$

Schritt 6.2.1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{v} + \frac{B}{- 2 v + 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- 2 v + 1}$

Schritt 6.2.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 v$ heraus.

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v) + 1}$

Schritt 6.2.1.5.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.1.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 v) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v - 1)}$

Schritt 6.2.1.5.4

Stelle die Minuszeichen um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.5.4.1

Schreibe $- (2 v - 1)$ als $- 1 (2 v - 1)$ um.

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- 1 (2 v - 1)}$

Schritt 6.2.1.5.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{v} - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

Schritt 6.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{v}$ nach $v$ ist $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \int - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

Schritt 6.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

Schritt 6.2.5

Da $2$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| v |) + C_{1} - (2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v) = \int d x$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v = \int d x$

Schritt 6.2.7

Sei $u_{2} = 2 v - 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d v$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.7.1

Es sei $u_{2} = 2 v - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.7.1.1

Differenziere $2 v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [2 v - 1]$

Schritt 6.2.7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 v - 1$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Schritt 6.2.7.1.3

Berechne $\frac{d}{d v} [2 v]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.7.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $2 v$ nach $v$ gleich $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Schritt 6.2.7.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Schritt 6.2.7.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Schritt 6.2.7.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.7.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 6.2.7.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 6.2.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Schritt 6.2.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.10.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.10.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.11

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Schritt 6.2.12

Vereinfache.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Schritt 6.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

Schritt 6.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x + C$

Schritt 7

Löse nach $v$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x + C$

Schritt 7.2

Stelle $x$ und $C$ um.

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$

Schritt 7.3

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{C + x}$

Schritt 7.4

Schreibe $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C + x} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Schritt 7.5

Löse nach $v$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$ um.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$

Schritt 7.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

Schritt 7.5.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| u_{2} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

Schritt 7.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| v | = e^{C + x} | u_{2} |$

Schritt 7.5.4

Löse nach $v$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C + x} | u_{2} |$ um.

$| v | = | u_{2} | e^{C + x}$

Schritt 7.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{C + x}$

Schritt 8

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Stelle die Terme um.

$v = \pm | u_{2} | e^{x + C}$

Schritt 8.2

Schreibe $e^{x + C}$ als $e^{x} e^{C}$ um.

$v = \pm | u_{2} | (e^{x} e^{C})$

Schritt 8.3

Stelle $e^{x}$ und $e^{C}$ um.

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{x})$

Schritt 8.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$v = C | u_{2} | e^{x}$

Schritt 9

Ersetze alle $v$ durch $e^{x - y}$ .

$e^{x - y} = C | u_{2} | e^{x}$

Schritt 10

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x - y}) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Schritt 10.2

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Zerlege $\ln (e^{x - y})$ durch Herausziehen von $x - y$ aus dem Logarithmus.

$(x - y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Schritt 10.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(x - y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $x - y$ mit $1$ .

$x - y = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Schritt 10.3

Multipliziere die rechte Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Schreibe $\ln (C | u_{2} | e^{x})$ als $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$ um.

$x - y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$

Schritt 10.3.2

Schreibe $\ln (C | u_{2} |)$ als $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ um.

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{x})$

Schritt 10.3.3

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \ln (e)$

Schritt 10.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \cdot 1$

Schritt 10.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x$

Schritt 10.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x - y = \ln (C | u_{2} |) + x$

Schritt 10.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \ln (C | u_{2} |) + x - x$

Schritt 10.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln (C | u_{2} |) + x - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Schritt 10.5.2.2

Addiere $\ln (C | u_{2} |)$ und $0$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |)$

Schritt 10.6

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (C | u_{2} |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (C | u_{2} |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Schritt 10.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Schritt 10.6.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Schritt 10.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$

Schritt 10.6.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$ als $- \ln (C | u_{2} |)$ um.

$y = - \ln (C | u_{2} |)$

Schritt 11

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $\ln (8)$ für $y$ in $y = - \ln (C | u_{2} |)$ ersetzt wird.

$\ln (8) = - \ln (C | u_{2} |)$

Schritt 12

Löse nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Schreibe die Gleichung als $- \ln (C | u_{2} |) = \ln (8)$ um.

$- \ln (C | u_{2} |) = \ln (8)$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \ln (C | u_{2} |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(C | u_{2} |)}^{- 1}) = \ln (8)$

Schritt 12.3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

${(C | u_{2} |)}^{- 1} = 8$

Schritt 12.4

Löse nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$

Schritt 12.4.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$C | u_{2} |, 1$

Schritt 12.4.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$C | u_{2} |$

Schritt 12.4.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$ mit $C | u_{2} |$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$ mit $C | u_{2} |$ .

$\frac{1}{C | u_{2} |} (C | u_{2} |) = 8 (C | u_{2} |)$

Schritt 12.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $C | u_{2} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{C | u_{2} |} (C | u_{2} |) = 8 (C | u_{2} |)$

Schritt 12.4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 8 (C | u_{2} |)$

Schritt 12.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.3.3.1

Entferne die Klammern.

$1 = 8 C | u_{2} |$

Schritt 12.4.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.4.1

Schreibe die Gleichung als $8 C | u_{2} | = 1$ um.

$8 C | u_{2} | = 1$

Schritt 12.4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $8 C | u_{2} | = 1$ durch $8 | u_{2} |$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 C | u_{2} | = 1$ durch $8 | u_{2} |$ .

$\frac{8 C | u_{2} |}{8 | u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

Schritt 12.4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 C | u_{2} |}{8 | u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

Schritt 12.4.4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

Schritt 12.4.4.2.2.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

Schritt 13

Setze $\frac{1}{8 | u_{2} |}$ für $C$ in $y = - \ln (C | u_{2} |)$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Ersetze $C$ durch $\frac{1}{8 | u_{2} |}$ .

$y = - \ln (\frac{1}{8 | u_{2} |} | u_{2} |)$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| u_{2} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Faktorisiere $| u_{2} |$ aus $8 | u_{2} |$ heraus.

$y = - \ln (\frac{1}{| u_{2} | \cdot 8} | u_{2} |)$

Schritt 13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \ln (\frac{1}{| u_{2} | \cdot 8} | u_{2} |)$

Schritt 13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \ln (\frac{1}{8})$