Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{2 x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$e^{y} d y = 6 e^{2 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{y} d y = \int 6 e^{2 x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 6 e^{2 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{2 x} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{2 x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} = 3 e^{2 x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (3 e^{2 x} + K)$