Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = t^{- \frac{3}{2}}$ , $s (4) = - 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{3}{2}}$ nach $t$ gleich $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$s + C_{1} = - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Schreibe $- 2 t^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ als $- 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ um.

$s + C_{1} = - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$s + C_{1} = \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$s + C_{1} = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $4$ für $t$ und $- 1$ für $s$ in $s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$ ersetzt wird.

$- 1 = - \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$ um.

$- \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + K = - 1$

Schritt 4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + K = - 1$

Schritt 4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{2^{1}} + K = - 1$

Schritt 4.2.1.4

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2}{2} + K = - 1$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{2} + K = - 1$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1 + K = - 1$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + K = - 1$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 1 + 1$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$K = 0$

Schritt 5

Setze $0$ für $K$ in $s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $0$ .

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 5.2

Addiere $- \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$