Analysis Beispiele

$(3 x y - 2 a y^{2}) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 x y - 2 a y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y - 2 a y^{2}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x y - 2 a y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x y$ nach $y$ gleich $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 a y^{2}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 2 a$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 a y^{2}$ nach $y$ gleich $- 2 a \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 2 a \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 2 a (2 y)$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 4 a y$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 a y + 3 x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} - 2 a y x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 a y x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 a y x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a y x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a y x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 a y x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 a y x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2 a y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 a y x$ nach $x$ gleich $- 2 a y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 a y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 a y \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 a y$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 a y + 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 4 a y + 3 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 a y + 2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 4 a y + 3 x = - 2 a y + 2 x$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 4 a y + 3 x = - 2 a y + 2 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 4 a y + 3 x$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 2 a y + 2 x$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x - (- 2 a y + 2 x)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x^{2} - 2 a y x$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x^{2} - 2 a y x$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x - (- 2 a y + 2 x)}{x^{2} - 2 a y x}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 a y + 3 x - (- 2 a y) - (2 x)}{x^{2} - 2 a y x}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x + 2 (a y) - (2 x)}{x^{2} - 2 a y x}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 a y + 3 x + 2 (a y) - 2 x}{x^{2} - 2 a y x}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $- 4 a y$ und $2 a y$ .

$\frac{- 2 a y + 3 x - 2 x}{x^{2} - 2 a y x}$

Schritt 4.3.2.5

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$\frac{- 2 a y + x}{x^{2} - 2 a y x}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 a y x$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{- 2 a y + x}{x \cdot x - 2 a y x}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 a y x$ heraus.

$\frac{- 2 a y + x}{x \cdot x + x (- 2 a y)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 2 a y)$ heraus.

$\frac{- 2 a y + x}{x (x - 2 a y)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 a y + x$ und $x - 2 a y$ .

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Schritt 4.3.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 a y + x}{x (- 2 a y + x)}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 a y + x}{x (- 2 a y + x)}$

Schritt 4.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Schritt 5.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | x | + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(3 x y - 2 a y^{2}) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3 x y - 2 a y^{2}$ mit $x$ .

$(3 x y - 2 a y^{2}) x d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x y x - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Schritt 6.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1

Bewege $x$ .

$(3 (x \cdot x) y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x^{2} - 2 a y x$ mit $x$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} - 2 a y x) x d y = 0$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} x - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

Schritt 6.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2} x^{1} - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

Schritt 6.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{2 + 1} - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

Schritt 6.6.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{3} - 2 a y x \cdot x) d y = 0$

Schritt 6.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.7.1

Bewege $x$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{3} - 2 a y (x \cdot x)) d y = 0$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(3 x^{2} y - 2 a y^{2} x) d x + (x^{3} - 2 a y x^{2}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y - 2 a y^{2} x d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = 3 x^{2} y - 2 a y^{2} x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int - 2 a y^{2} x d x$

Schritt 8.2

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3 y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int - 2 a y^{2} x d x$

Schritt 8.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 a y^{2} x d x$

Schritt 8.4

Da $- 2 a y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2 a y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 a y^{2} \int x d x$

Schritt 8.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 8.7

Vereinfache.

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Schritt 8.7.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 8.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 8.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 8.7.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 2 a y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 8.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 2 a y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 8.7.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + a y^{2} \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

Schritt 8.7.6

Kombiniere $a$ und $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} \frac{a (- 2 x^{2})}{2} + C$

Schritt 8.7.7

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{a (- 2 x^{2})}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} (a (- 2 x^{2}))}{2} + C$

Schritt 8.7.8

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} a (- 2 x^{2})}{2} + C$

Schritt 8.7.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 8.7.9.1

Faktorisiere $2$ aus $y^{2} a (- 2 x^{2})$ heraus.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{2 (y^{2} a (- x^{2}))}{2} + C$

Schritt 8.7.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.7.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{2 (y^{2} a (- x^{2}))}{2 (1)} + C$

Schritt 8.7.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{2 (y^{2} a (- x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 8.7.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} a (- x^{2})}{1} + C$

Schritt 8.7.9.2.4

Dividiere $y^{2} a (- x^{2})$ durch $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x^{3}$ nach $y$ gleich $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 11.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} a (- x^{2})]$ .

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Schritt 11.4.1

Da $a \cdot - 1 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} a (- x^{2})$ nach $y$ gleich $a \cdot - 1 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} + a \cdot - 1 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 11.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} + a \cdot - 1 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 11.4.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a$ .

$x^{3} - 1 \cdot a x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 11.4.4

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$x^{3} - a x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 11.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{3} - 2 a x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{3} - 2 a x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 11.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - 2 x^{2} a y = x^{3} - 2 a y x^{2}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{2} a y = x^{3} - 2 a y x^{2} - x^{3}$

Schritt 12.1.2

Addiere $2 x^{2} a y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} - 2 a y x^{2} - x^{3} + 2 x^{2} a y$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - 2 a y x^{2} - x^{3} + 2 x^{2} a y$ .

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Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $x^{3}$ von $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 a y x^{2} + 0 + 2 x^{2} a y$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $- 2 a y x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 a y x^{2} + 2 x^{2} a y$

Schritt 12.1.3.3

Ordne die Faktoren in den Termen $- 2 a y x^{2}$ und $2 x^{2} a y$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{2} a y + 2 x^{2} a y$

Schritt 12.1.3.4

Addiere $- 2 x^{2} a y$ und $2 x^{2} a y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} a (- x^{2}) + C$

Schritt 15

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = y x^{3} - y^{2} a x^{2} + C$