Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} = e^{x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = e^{x} - \frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (e^{x} - \frac{1}{x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int e^{x} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int e^{x} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int e^{x} d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} + \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$y + C_{1} = e^{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = e^{x} - \ln (| x |) + C$