Analysis Beispiele

$\frac{d c}{d y} = 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d c = (0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}}) d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d c = \int 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$c + C_{1} = \int 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$c + C_{1} = \int 0.5 d y + \int \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + \int \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 2.3.3

Da $0.2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $0.2$ aus dem Integral.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 2.3.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Schritt 2.3.4.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Schritt 2.3.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Schritt 2.3.4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Schritt 2.3.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 (2 y^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$c + C_{1} = 0.5 y + 0.4 y^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$c = 0.5 y + 0.4 y^{\frac{1}{2}} + K$