Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} - 2 t y = 0$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = - 2 t$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 2 t d t}$

Schritt 1.2

Integriere $- 2 t$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{- 2 \int t d t}$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ um.

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} t^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} t^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} t^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} t^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{- 1}{1} t^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$e^{- t^{2} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- t^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- t^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- t^{2}}$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- t^{2}} (- 2 t y) = e^{- t^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = e^{- t^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $e^{- t^{2}}$ mit $0$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = 0$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = 0$ um.

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 t y e^{- t^{2}} = 0$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{- t^{2}} y] = 0$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t^{2}} y] d t = \int 0 d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{- t^{2}} y = \int 0 d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Das Integral von $0$ nach $t$ ist $0$ .

$e^{- t^{2}} y = 0 + C$

Schritt 6.2

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{- t^{2}} y = C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{- t^{2}} y = C$ durch $e^{- t^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- t^{2}} y = C$ durch $e^{- t^{2}}$ .

$\frac{e^{- t^{2}} y}{e^{- t^{2}}} = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t^{2}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- t^{2}} y}{e^{- t^{2}}} = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$