Analysis Beispiele

$\frac{d P}{d x} = 3 x \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d P = 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d P = \int 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$P + C_{1} = \int 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$P + C_{1} = 3 \int x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = x^{2} + 9$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = x^{2} + 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$P + C_{1} = 3 \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$P + C_{1} = 3 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$P + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 2.3.5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ als $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ um.

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$P + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$P + C_{1} = \frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$P + C_{1} = \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.3.7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$P + C_{1} = \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$P + C_{1} = 1 u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.5

Mutltipliziere $u^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$P + C_{1} = u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$P + C_{1} = {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$P = {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + K$