Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 7}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $(x + 7) y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = \frac{1}{x + 7} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x + 7} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x + 7} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = x + 7$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = x + 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 7$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = \ln (| x + 7 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 \ln (| x + 7 |) + 3 C$

Schritt 3.3

Vereinfache $3 \ln (| x + 7 |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{3} = \ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + C}$