Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = 3$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{5 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{5}{x} = 3$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{5}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{5}{x} y = 3$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{5}{x}$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{5}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{5}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$e^{5 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{5 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{5 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{5 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{5})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{5}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} (\frac{5}{x} y) = x^{5} \cdot 3$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{5}{x}$ und $y$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{4} (5 y) = x^{5} \cdot 3$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{5} \cdot 3$

Schritt 3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = 3 x^{5}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{5} y] = 3 x^{5}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{5} y] d x = \int 3 x^{5} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{5} y = \int 3 x^{5} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$x^{5} y = 3 \int x^{5} d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$ als $3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$ um.

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{6}$ .

$x^{5} y = \frac{3}{6} x^{6} + C$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{5} y = \frac{3 (1)}{6} x^{6} + C$

Schritt 7.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

Schritt 7.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

Schritt 7.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ durch $x^{5}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ durch $x^{5}$ .

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus $\frac{1}{2} x^{6}$ heraus.

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{5}}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{1}{2} x$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{5}}$

Schritt 8.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{5}}$