Analysis Beispiele

$6 x^{2} d x - 2 (y d) y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $6 x^{2} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y d y = - 6 x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - 2 y d y = \int - 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int y d y = \int - 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$- y^{2} + C_{1} = - 6 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- y^{2} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $- 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ als $- 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ um.

$- y^{2} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{3}$ .

$- y^{2} + C_{1} = \frac{- 6}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- y^{2} + C_{1} = - 2 x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- y^{2} = - 2 x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = - 2 x^{3} + K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = - 2 x^{3} + K$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2 x^{3}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (- 2 x^{3}) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (- 2 x^{3})$ als $- (- 2 x^{3})$ um.

$y^{2} = - (- 2 x^{3}) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y^{2} = 2 x^{3} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{K}{- 1}$ .

$y^{2} = 2 x^{3} - 1 \cdot K$

Schritt 3.1.3.1.5

Schreibe $- 1 \cdot K$ als $- K$ um.

$y^{2} = 2 x^{3} - K$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{2 x^{3} - K}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

Schritt 3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

Schritt 3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{2 x^{3} + K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} + K}$