Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x} y = 5 x + 7$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{4}{x}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{4}{x} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{4}{x}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$e^{4 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{4 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

$e^{4 \ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{4 \ln (x)}$

Schritt 1.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{4})}$

Schritt 1.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{4}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{4}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} (\frac{4}{x} y) = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{4}{x}$ und $y$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} \frac{4 y}{x} = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{3} (4 y) = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Schritt 2.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{4} x + x^{4} \cdot 7$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1

Bewege $x$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 (x \cdot x^{4}) + x^{4} \cdot 7$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 (x^{1} x^{4}) + x^{4} \cdot 7$

Schritt 2.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{1 + 4} + x^{4} \cdot 7$

Schritt 2.3.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{5} + x^{4} \cdot 7$

Schritt 2.3.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{5} + 7 x^{4}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] = 5 x^{5} + 7 x^{4}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{4} y] d x = \int 5 x^{5} + 7 x^{4} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x^{4} y = \int 5 x^{5} + 7 x^{4} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x^{4} y = \int 5 x^{5} d x + \int 7 x^{4} d x$

Schritt 6.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$x^{4} y = 5 \int x^{5} d x + \int 7 x^{4} d x$

Schritt 6.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 7 x^{4} d x$

Schritt 6.4

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 7 \int x^{4} d x$

Schritt 6.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 7 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache.

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6}) x^{6} + 7 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 6.6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.6.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{6}$ .

$x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + 7 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 6.6.2.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{5}$ .

$x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + \frac{7}{5} x^{5} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + \frac{7}{5} x^{5} + C$ durch $x^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + \frac{7}{5} x^{5} + C$ durch $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{5}{6} x^{6}}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{5}{6} x^{6}}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{6} x^{6}}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $\frac{5}{6} x^{6}$ heraus.

$y = \frac{x^{4} (\frac{5}{6} x^{2})}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{5}{6} x^{2})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{4} (\frac{5}{6} x^{2})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{5}{6} x^{2}}{1} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{5}{6} x^{2}$ durch $1$ .

$y = \frac{5}{6} x^{2} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.2

Kombiniere $\frac{5}{6}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 7.3.1.3.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $\frac{7}{5} x^{5}$ heraus.

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{x^{4} (\frac{7}{5} x)}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{x^{4} (\frac{7}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{x^{4} (\frac{7}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{\frac{7}{5} x}{1} + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.3.2.4

Dividiere $\frac{7}{5} x$ durch $1$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{7}{5} x + \frac{C}{x^{4}}$

Schritt 7.3.1.4

Kombiniere $\frac{7}{5}$ und $x$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{7 x}{5} + \frac{C}{x^{4}}$