Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x y + y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $x y + y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y}$

Schritt 1.1.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y^{1}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y \cdot 1}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2} + 1}{y}$ mit $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

Schritt 1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 1}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y^{2} + 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 y + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $2 y$ und $0$ .

$2 y$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 1 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \ln (| x + 1 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |) = 2 C$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache $\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |)$ .

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x + 1 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 C$

Schritt 3.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x + 1 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 C$

Schritt 3.4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$

Schritt 3.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}})} = e^{2 C}$

Schritt 3.6

Schreibe $\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$ um.

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$

Schritt 3.7.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.7.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.4.1

Vereinfache $e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.7.4.1.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} ((x + 1) (x + 1))$

Schritt 3.7.4.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.7.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Schritt 3.7.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Schritt 3.7.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 3.7.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.7.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.4.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 3.7.4.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 3.7.4.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Schritt 3.7.4.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1)$

Schritt 3.7.4.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 2 x + 1)$

Schritt 3.7.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} (2 x) + e^{2 C} \cdot 1$

Schritt 3.7.4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.7.4.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C} \cdot 1$

Schritt 3.7.4.1.5.2

Mutltipliziere $e^{2 C}$ mit $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$

Schritt 3.7.4.1.6

Stelle die Faktoren in $e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$ um.

$| y^{2} + 1 | = x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}$

Schritt 3.7.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C})$

Schritt 3.7.4.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

Schritt 3.7.4.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} C + 2 x C + C) - 1}$