Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{- y}}{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y})$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- y}$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $e^{- y}$ aus $\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$ heraus.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$e^{y} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Schritt 3.3

Zerlege $\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$y = \ln (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Schritt 3.4

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$