Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = 4$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{2 x}{t}$ heraus.

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = 4$

Schritt 1.2

Stelle $x$ und $\frac{2}{t}$ um.

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = 4$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = \frac{2}{t}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2}{t}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (t)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (t^{2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$t^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $t^{2}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \cdot 4$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{t}$ und $x$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \cdot 4$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \cdot 4$

Schritt 3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t^{2}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t^{2}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t^{2} d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$t^{2} x = \int 4 t^{2} d t$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$t^{2} x = 4 \int t^{2} d t$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ als $4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ um.

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ durch $t^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ durch $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{3}$ und $t^{2}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $t^{2}$ aus $\frac{4}{3} t^{3}$ heraus.

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\frac{4}{3} t}{1} + \frac{C}{t^{2}}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{4}{3} t$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3} t + \frac{C}{t^{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $t$ .

$x = \frac{4 t}{3} + \frac{C}{t^{2}}$