Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - y}{x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{e^{x} - y}{x}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $\frac{- y}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{- y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1}{x}) = \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $- \frac{- 1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1}{x} y = \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{- 1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{- 1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- \frac{- 1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\int - - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{\int 1 \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (x)}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (- \frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x \frac{d y}{d x} - x (\frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{y}{x}) = x \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{x}$ in den Zähler.

$x \frac{d y}{d x} - x \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 3.2.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 3.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 3.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} - - y = x \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 y = x \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = e^{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x y = \int e^{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$x y = e^{x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x y = e^{x} + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = e^{x} + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$