Analysis Beispiele

$\frac{3}{2} \cdot \frac{d v}{d t} = 13.6 - \frac{1}{2} v$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v}$ .

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13.6 - \frac{1}{2} v$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = 1$

Schritt 1.3

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} \frac{d v}{d t} = 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = 1 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Kombiniere $v$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{3}{(13.6 - \frac{v}{2}) \cdot 2} d v = \int d t$

Schritt 2.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\int \frac{3}{2 (13.6 - \frac{v}{2})} d v = \int d t$

Schritt 2.2.2

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} d v = \int d t$

Schritt 2.2.3

Sei $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{2} d v$ , folglich $- 2 d u = d v$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.3.1

Es sei $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d v}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Differenziere $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [13.6 - \frac{v}{2}]$

Schritt 2.2.3.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $13.6 - \frac{v}{2}$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Da $13.6$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $13.6$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Schritt 2.2.3.1.3

Berechne $\frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

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Schritt 2.2.3.1.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{v}{2}$ nach $v$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$

Schritt 2.2.3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 2.2.3.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.3.1.4

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{3}{2} \int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Schritt 2.2.4.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d t$

Schritt 2.2.4.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d t$

Schritt 2.2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d t$

Schritt 2.2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.4.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 2}{u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2} \int - \frac{2}{u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{2}{u} d u) = \int d t$

Schritt 2.2.6

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} (- (2 \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- 2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Schritt 2.2.7.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.7.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 2.2.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.7.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.7.4.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- 3 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Schritt 2.2.9

Vereinfache.

$- 3 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.10

Ersetze alle $u$ durch $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.11

Stelle die Terme um.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$

Schritt 3

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)$ durch $1$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere $v$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} + \frac{C}{- 3}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$

Schritt 3.2

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |)} = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} = | 13.6 - \frac{v}{2} |$

Schritt 3.4

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$ um.

$| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Schritt 3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$13.6 - \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $13.6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6$

Schritt 3.4.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{v}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Schritt 3.4.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.5.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{v}{2})$ .

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Schritt 3.4.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{v}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Schritt 3.4.5.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Schritt 3.4.5.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Schritt 3.4.5.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Schritt 3.4.5.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.4.5.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Schritt 3.4.5.1.1.2.2

Mutltipliziere $v$ mit $1$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Schritt 3.4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.5.2.1

Vereinfache $- 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$ .

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Schritt 3.4.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) - 2 \cdot - 13.6$

Schritt 3.4.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 13.6$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) + 27.2$

Schritt 3.4.6

Stelle $- \frac{t}{3}$ und $- \frac{C}{3}$ um.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{3} - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$v = - 2 (\pm e^{C - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} + C}) + 27.2$

Schritt 4.3

Schreibe $e^{- \frac{t}{3} + C}$ als $e^{- \frac{t}{3}} e^{C}$ um.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3}} e^{C}) + 27.2$

Schritt 4.4

Stelle $e^{- \frac{t}{3}}$ und $e^{C}$ um.

$v = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$

Schritt 4.5

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$v = - 2 (C e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$